平均數(shù)

　　一、頻數(shù)表的編制與頻數(shù)分布

　　計(jì)量資料有離散型變量和連續(xù)型變量。對(duì)離散型變量，可列出變量值及其頻數(shù)如表4.1。若變量值較多時(shí)，亦可用組段表示如表4.2。每個(gè)組段的起點(diǎn)稱下限，終點(diǎn)稱上限，上限與下限之差稱組距。如表4.2第一組的下限是0，上限是1。第二組的下限是2上限是3，組距都是1。歸組以后，該組的變量值用組段的中值代表，稱組中值。如第一組的組中值為0.5。

表4.1　某市居民1095天中每天意外死亡人數(shù)(1980～82年)

表4.2　204名軋鋼工人白細(xì)胞中大單核所占百分比

　　若是連續(xù)型變量，組段的寫法與離散型變量的略有不同。如表4.3坐高第一組段下限為61，上限為62；第二組段的下限為62，上限為63。因此，上一組段的上限和下一組段的下限值相同。為便于歸組，上限一般不寫出來。如第一組寫成“61-”，意思是凡坐高在61至未離散型變最的數(shù)值較大時(shí)，亦可按連續(xù)型變量寫組段，如紅細(xì)胞數(shù)（萬/mm³)的組段應(yīng)寫成400-419，420-439，…，亦可簡(jiǎn)化寫成400-，420-，…。這樣由組段和頻數(shù)兩部分組成的表稱為頻數(shù)表。下面用表4.4資料說明頻數(shù)表編制步驟�，…�

表4.3　某市7歲男童坐高頻數(shù)表

表 4.4　西安市7歲男童102人的坐高，cm

　　(二)找出原始資料中的最小、最大值　表4.4坐高的最大值為71.2cm，最小值為61.1cm，最大值與最小值之差稱極差為10.1cm。

　�。ǘ�)定組距　先考慮組數(shù)。資料在100例以上的一般分10-15組。若例數(shù)較少，組數(shù)可相應(yīng)少些；例數(shù)很多，組數(shù)可酌情多些，以能顯示分布的規(guī)律為宜。此例擬分10組。將擬分的組數(shù)除極差（10.1/10≈1)得組距的約數(shù)。再調(diào)整到較方便的數(shù)如0.1、0.2、0.5，1、2、5、10、20、50……等。此例取組距為1。

　�。ㄈ�)寫組段　取等于或略小于最小值的整數(shù)為第一組的下限。按組距依次寫出各組段的下限及短橫，見表4.3組段行，注意短橫“-”不能略去。

　�。ㄋ�) 劃線記數(shù)　像選舉開票那樣，將變量值逐個(gè)歸入相應(yīng)的組段，如將64.4歸入“64-”組，63.8歸入“63-”組。每歸入一個(gè)變量值，在相應(yīng)的組段內(nèi)劃一豎線，每逢第五線則作一橫線跨在已劃出的四條豎線上，這樣五線連在一起最后計(jì)數(shù)時(shí)就很方便了。劃完后將每個(gè)組段內(nèi)的線條數(shù)寫出，再將各組頻數(shù)合計(jì)，頻數(shù)表就編好了。

　　若事先不能確定合適的組數(shù)，可先分細(xì)些，需要時(shí)再將相鄰兩組合并。而分粗了，再要分細(xì)，則只得重劃。

　　表4.4的資料編成頻數(shù)表（見表4.3)后，可看出變量值的分布情況，若繪成直方圖就更直觀。從圖4.1可看到橫坐標(biāo)約為66.5cm處直方最高，表示變量值圍繞在66.5左右的最多；兩側(cè)對(duì)稱下降，大于66.5和小于66.5的變量值個(gè)數(shù)基本相等。這種類型的分布為對(duì)稱分布。第五章介紹的正態(tài)分布是其中最常見的一種。

圖4.1　西安市7歲男童坐高分布

　　此外，如圖4.2，變量值愈小頻數(shù)愈多圖形呈“L”形，圖4.3的頻數(shù)集中在變量值較小的一邊，右側(cè)尾部拖得很長(zhǎng)。后兩種屬偏態(tài)分布。這三種頻數(shù)分布都只有一個(gè)高峰稱單峰分布。為更準(zhǔn)確地說明分布的特征，對(duì)形狀相同的分布作出集中位置和離散程度的比較，就需計(jì)算頻數(shù)分布的一些特別值。如平均數(shù)、百分位數(shù)、極差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等。

圖4.2　某市1095天中居民意外死亡人數(shù)（1980-1982)

圖 4.3　204名軋鋼工人白細(xì)胞中大單核所占百分比

　　二、眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)的意義及計(jì)算法

　�。ㄒ�)眾數(shù)　出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，或頻數(shù)表上頻數(shù)最多組的組中值即為眾數(shù)。如表4.3中坐高的眾數(shù)是66.5cm。這樣僅由觀察所得的眾數(shù)稱為觀察眾數(shù)。同一資料常因所用組距不同和下限取值不同，觀察眾數(shù)稍有出入，故又稱概約眾數(shù)，與觀察眾數(shù)相對(duì)應(yīng)的尚有理論眾數(shù)。理論眾數(shù)的算法根據(jù)頻數(shù)曲線類型的不同而異，數(shù)學(xué)上為與極大值相應(yīng)的橫坐標(biāo)。

　　（二)中位數(shù)及百分位數(shù)

　　1．中位數(shù) 將n個(gè)變量值從小到大排列后，居中的一數(shù)就是中位數(shù)，符號(hào)為M，有的書上用Md。它將變量值分為兩半，一半比它小，一半比它大。

　　X₁2<…n-1a

　　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

　　　　　　　　　　　　 （4.1)

　　當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

（4.2)

　　當(dāng)資料呈明顯偏態(tài)，或有個(gè)別的特小、特大值存在時(shí)，中位數(shù)的代表性往往比均數(shù)好。例如有5個(gè)變量值8、9、9、10、19。其中4個(gè)在9左右，但由于受數(shù)值19的影響，均數(shù)為11，不能很好代表中等水平。求中位數(shù)

　　比較符合實(shí)際。

　　根據(jù)頻數(shù)表計(jì)算連續(xù)型變量的中位數(shù)可用式（4.3)或式(4.4)

 　（4.3)

　　或　　　　　　  �。�4.4)

　　式中L、U分別為中位數(shù)所在組的下限及上限，A₁為小于L的各組的累計(jì)頻數(shù)，A₂為大于U的各組的累計(jì)頻數(shù)，f_M、i分別為中位數(shù)所在組的頻數(shù)和組距�，F(xiàn)用表4.5說明計(jì)算步驟如下：

　　（1)求出中位數(shù)的位置。在頻數(shù)表上，數(shù)據(jù)已由小到大排好了。中位數(shù)將頻數(shù)等分為2，因此先計(jì)算n/2，得中位數(shù)的位置。

　　n/2=157/2=78.5

　�。�2)列出頻數(shù)表、計(jì)算累計(jì)頻數(shù)。列頻數(shù)表時(shí)，組段的短橫“－”寫在兩個(gè)組段下限之間，其意義仍與寫在右邊的相同，見表4.5第（1)欄。

　　第（3)欄為累計(jì)頻數(shù)。此例自上而下累計(jì)到略小于n/2為止得A₁=41，表示住院天數(shù)為10天及以下的有41個(gè)人。若要知道第78.5人的變量值，就需要從10-15組內(nèi)再累計(jì)（78.5-41=)37.5人。假定該組的49人在10-15天內(nèi)均勻分布著（見圖4.4)，那么只要在10天上再加（78.5-41)/49個(gè)組距便是中位數(shù)了。所以

　　用符號(hào)表示見式（4.3)。

　　若將頻數(shù)自下而上累計(jì)到略小于n/2為止，則得A₂=67。也得出中位數(shù)在10-15組段內(nèi)。

圖4.4　中位數(shù)計(jì)算示意圖

　�。�3)寫出L或U、f_M及i。

　�。�4)代入公式得M。

　　例4.1 求桿菌痢疾治愈者157名住院天數(shù)的中位數(shù)。

　　n/2＝157/2＝78.5

表4.5　桿菌痢疾治愈者的住院天數(shù)

　　L=10或U=15，f_M=49，i=5。

　　代入公式

　　桿菌痢疾治愈者住院天數(shù)的中位數(shù)為13.8天。

　　中位數(shù)既然把頻數(shù)等分為二，所以從另一端算起，用式（4.4)可得到同樣的結(jié)果。

　　此例若計(jì)算治愈者平均住院天數(shù)得17.9天。從頻數(shù)表上可看到157名患者中住院天數(shù)少于15天的就有90名，占57.3%，因此中位數(shù)13.8天的代表性優(yōu)于均數(shù)17.9天。

　　2．百分位數(shù)　中位數(shù)將頻數(shù)等分為二，亦稱二分位數(shù)。若將頻數(shù)等分為四，則稱四分位數(shù)，共有三個(gè)四分位數(shù)，即第一、第二、第三四分位數(shù)。第二四分位數(shù)即中位數(shù)。同理，將頻數(shù)等分為十或一百的分位數(shù)稱十分位數(shù)或百分位數(shù)。其實(shí)上述各種分位數(shù)都可用百分位數(shù)表示。百分位數(shù)的符號(hào)為P_x，X代表第X百分位。例如第一四分位數(shù)、中位數(shù)可分別以P₂₅、P₅₀表示。計(jì)算百分位數(shù)的方法與中位數(shù)相似，只是式（4.3)中的n/2以nx/100代替，M以X代替。

　　　　　　　�。�4.5)

　　式中L_X、f_x、i_x分別為P_x所在組的下限、頻數(shù)及組距。A為小于L_x各組的累計(jì)頻數(shù)。

　　例4.2，求例4.1中住院天數(shù)的P₉₀。

　　（1)計(jì)算　 

　�。�2)累計(jì)頻數(shù)自上而下至略小于141.3，見表4.5第（4)欄，得A=135。知P₉₀在30-35組內(nèi)，因此Lx=30，i=5,f_x=7

　�。�3)代入公式

　　第90百分位數(shù)為34.5天，說明有90%的患者住院天數(shù)在34.5天以下。

　　三、算術(shù)均數(shù)與幾何均數(shù)的意義及計(jì)算方法

　�。ㄒ�)算術(shù)均數(shù)　簡(jiǎn)稱均數(shù)。設(shè)觀察了n個(gè)變量值X₁，X₂，……Xa，一般可直接用式（4.6)求樣本均數(shù)X。

　　式中∑是總和的符號(hào)，n是樣本含量即例數(shù)。本書在不會(huì)引起誤解的情況下簡(jiǎn)寫成

　　X=１/n∑X （4.6)

　　例4.318-24歲非心臟疾患死亡的男子心臟重量（g)如下，求心重的均數(shù)。

　　X＝1/20（350+320+…+320)＝5875/20＝293.75g

　　樣本均數(shù)是總體均數(shù)的估計(jì)值，它有兩個(gè)特性。（1)∑（X-X)=0，（2)∑（X-X)²為最小，前者讀者

　　可自證，后者證明如下：

　　設(shè)：a≠X，則a＝X±d　d>0

　　∑(X-a)²＝∑(X-X±d)²

　　^�。�∑[(X-X)±d]²

　　  ^＝∑(X-X)²±2d∑(X-X)+Nd²

　　從第一個(gè)特性知∑(X－X)＝0，因此2d∑（X－X)＝0，

　　得

　　∑（X－a)²＝∑（X－X)²＋Nd²

　　 N是例數(shù)，不可能為負(fù)，所以Nd²也不會(huì)是負(fù)數(shù)。

　　∑（X－a)²＞∑（X－X)²，∑（X－X)²為最小。

　　當(dāng)用電子計(jì)算機(jī)處理大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，考慮到有較大舍入誤差時(shí)，則先取一較近均數(shù)的常數(shù)c ，然后用式（4.7)計(jì)算，可提高均數(shù)的精度。

　　X＝C＋1/n×（X_i－C)　　　　　　　　　　 （4.7)

　　若每輸入一個(gè)變量值后都希望得到均數(shù)，那么可用式（4.8)

　　X＝X _n-1+1/n×（X_n-X_n-1 (4.8)

　　例4.4 仍用例4.3資料，已算得前19例心重的X_１０=292.37,又測(cè)得X₂₀=320，求X₂₀。

　　X₂₀＝292.37+1/20×(320-292.37)=293.75g

　　若相同的變量值個(gè)數(shù)較多，或?qū)︻l數(shù)表資料求均數(shù)時(shí)，可用式（4.9)計(jì)算X。

　　或簡(jiǎn)寫為X＝1/n∑fX　(4.9)

　　式中K為不同變量值個(gè)數(shù)，或頻數(shù)表中的組段數(shù)。Xi為第i個(gè)不同的變量值或頻數(shù)表上的組中值，fi為第i個(gè)變量值的頻數(shù)。

　　例4.5 計(jì)算表4.5菌痢治愈者的平均住院天數(shù)。

　　X＝1/157（3×2.5+38×7.5……+1×77.5)=17.9天

　　式（4.9)中某變量值的頻數(shù)愈大，則該變量值對(duì)X的影響亦愈大。因此，頻數(shù)又稱權(quán)數(shù)，這樣

　　計(jì)算出來的均數(shù)又叫加權(quán)均數(shù)。亦有根據(jù)變量值的重要性進(jìn)行加權(quán)，計(jì)算加權(quán)均數(shù)的。

　�。ǘ�)幾何均數(shù)　設(shè)n個(gè)變量值X₁，X₂，……，Xa呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其幾何均數(shù)G為

　　式中∏為連乘的符號(hào)。當(dāng)變量值較多時(shí)，乘積很大，計(jì)算不便，常改用下式計(jì)算

　(4.10)

　　或　　　　　  　(4.11)

　　式中符號(hào)含義同式（4.6)與式（4.9)。

　　例4.6　求下表中麻疹病毒特異性IgG熒光抗體的平均滴度。

表4.6　52例麻疹患者恢復(fù)期血清麻疹病毒
特異性IgG熒光抗體滴度

　　G=log^-1[1/52×(3log40+22log80+…+log1280)]=129.3

　　麻疹患者恢復(fù)期血清麻疹病毒特異性IgG熒光抗體的平均滴度為1:129。

　　式（4.10)包含三個(gè)步驟，（1)令X_i=logX_i，則式（4.10)可寫成；(2)1/n∑X_i

　　即對(duì)數(shù)數(shù)值的均數(shù)X；（3)將X取反對(duì)數(shù)即得幾何均數(shù)1og^-1X=G。這里不難理解，若將這種資料作對(duì)數(shù)變換后，即可用式（4.6)至式(4.9)的各式計(jì)算均數(shù)，得到結(jié)果后再取反對(duì)數(shù)即得幾何均數(shù)。讀者可自已驗(yàn)證。

　　四、運(yùn)用平均數(shù)的注意事項(xiàng)

　　平均數(shù)是描述一群同質(zhì)變量值集中位置的特征值，用來說明某現(xiàn)象或事物數(shù)量的中等水平。通常用平均數(shù)作為算術(shù)均數(shù)、幾何均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等的統(tǒng)稱，而以均數(shù)作為算術(shù)均數(shù)的簡(jiǎn)稱。

　　1．同質(zhì)的事物或現(xiàn)象才能求平均數(shù)　我們檢查200名正常人的紅細(xì)胞數(shù)（萬/mm³)計(jì)算平均數(shù)，定出正常值范圍，作為診斷貧血的依據(jù)之一。如果正常人中混有貧血患者，那么求出的平均數(shù)既不能說明正常人也不能說明貧血患者，有人把它稱為虛構(gòu)的平均數(shù)，因?yàn)樗�模糊了�?shù)量特征，不能提供分析的依據(jù)了。因此計(jì)算平均數(shù)以前必須考慮資料的同質(zhì)性。有人研究某藥物的利尿作用，觀察了二條狗、三頭兔子用藥前后的排尿滴數(shù)，曾將狗與兔子的排尿滴數(shù)加在一起求平均數(shù)。由于狗體大，排尿滴數(shù)較兔子的多，得到的平均數(shù)對(duì)狗來說似嫌少，而對(duì)兔子來說又顯得太多，這是虛構(gòu)平均數(shù)的又一例。

　　像狗與兔子，貧血患者與正常人的不同質(zhì)是顯而易見的。但即使是正常人，性別、年齡、地區(qū)不同，紅細(xì)胞數(shù)的均數(shù)也有差異。那么怎樣才算是同質(zhì)呢？是否同質(zhì)，要根據(jù)研究目的而定。例如研究痢疾患者的平均治愈日數(shù)時(shí)，要考慮不同病原菌、不同型別（急性、慢性等)的患者是不同質(zhì)的。但當(dāng)研究傳染病的住院日數(shù)時(shí)，則不同疾�。�痢疾、傷寒、……)是不同質(zhì)的，而所有痢疾病人，不論由何種病原菌引起，或是何種型別都認(rèn)為是同質(zhì)的了。若研究各醫(yī)院的平均住院天數(shù)時(shí)，醫(yī)院類型（傳染病院、兒童醫(yī)院、綜合醫(yī)院、……)以及同類醫(yī)院中，科室（內(nèi)、外、傳染……)設(shè)置及床位分配不同等就是不同質(zhì)的了。不同質(zhì)的事物就要分組求平均數(shù)，以便分析比較。因此科學(xué)的平均數(shù)是建立在分組的基礎(chǔ)上的。

　　2．用組平均數(shù)補(bǔ)充總平均數(shù)　表4.7是某院1983年的治愈者平均住院天數(shù)�？偩鶖�(shù)為18天。但從表中可見，它所包含的20類（其他類除外)的疾病中，變態(tài)反應(yīng)及中毒、小兒科疾病住院天數(shù)最短為9天，而結(jié)核病的卻長(zhǎng)達(dá)60天。住院天數(shù)高于總均數(shù)的有10類，治愈人數(shù)共1358人，占治愈總?cè)藬?shù)（其他類除外)的35%。若醫(yī)療質(zhì)量基本不變，多收結(jié)核病人，住院天數(shù)的總均數(shù)無疑會(huì)延長(zhǎng)；而多收小兒患者，總均數(shù)就會(huì)縮短。因此如沒有收容病種的分析，僅從總均數(shù)的延長(zhǎng)或縮短來看醫(yī)療質(zhì)量是不科學(xué)的。而對(duì)各時(shí)期同種疾病的住院天數(shù)進(jìn)行分析，比較適宜。

表4.7某醫(yī)院1983年各類疾病治愈者的平均住院天數(shù)

　　3．根據(jù)資料的分布選用適當(dāng)?shù)钠骄鶖?shù)　計(jì)量資料如是單峰對(duì)稱分布，宜用均數(shù)，亦可用中位數(shù)。若是偏態(tài)分布則中位數(shù)的代表性常較均數(shù)為好。某些傳染病的潛伏期、抗體滴度、細(xì)菌計(jì)數(shù)、率或比的變化速度及某些物質(zhì)濃度等，其頻數(shù)分布明顯偏態(tài)，但經(jīng)對(duì)數(shù)代換后近于正態(tài)分布的，如圖4.3資料，應(yīng)計(jì)算幾何均數(shù)以描述其中等水平。