醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué):第二節(jié) 安全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的方差分析

一、檢驗(yàn)的一般步驟

1．資料　這里所要的是類似第七章第一節(jié)三、中所述的成組資料，不過(guò)現(xiàn)在不是兩組而是多組，如下例。

例8.1　分泌型免疫球蛋白A（SIgA)是胃腸道分泌液、淚液等外分泌液中的主要免疫球蛋白類，某院研制了“¹²⁵I－SIgA放射免疫測(cè)定藥盒”，為人體SIgA的檢驗(yàn)提供了一種簡(jiǎn)便方法。為比較不同批號(hào)藥盒檢驗(yàn)結(jié)果是否一致，該院曾將三批號(hào)各四個(gè)藥盒一一測(cè)定了某一標(biāo)本得結(jié)果如下，試作方差分析。

表8.1　三個(gè)批號(hào)藥盒的SIgA放射免疫測(cè)定值

2. 分析　從表8.1的測(cè)定結(jié)果可以看出這里有三種變異：

（1)從同一批號(hào)藥盒的四次測(cè)定結(jié)果看，不盡相同，這是組內(nèi)變異。顯然它不是由于批號(hào)不同的影響，而只是由于誤差（如批內(nèi)各藥盒的差異性和測(cè)量誤差等)造成的。

（2)從各批測(cè)定值的均數(shù)來(lái)看，是不相同的，這是組間變異，表明各批藥盒性能質(zhì)量也許對(duì)測(cè)得的結(jié)果有一定影響，也包括誤差的作用。

（3)12次測(cè)定的SIgA含量都不盡相同，有高有低，它們既可能受藥盒來(lái)自不同批號(hào)的影響，也包括組內(nèi)變異，因此稱為總變異。

那么這里各批藥盒測(cè)SIgA均值間的差別，只不過(guò)是抽樣誤差的反映呢？還是藥盒制作質(zhì)量不穩(wěn)定，批間存在顯著差別？為了得出正確的結(jié)論，可進(jìn)行方差分析。方差分析的基本甲思想是：①?gòu)目傋儺愔蟹殖鼋M間變異和組內(nèi)變異，并用數(shù)量表示變異的程度；②將組間變異和組內(nèi)變異進(jìn)行比較，如兩者相差不大，說(shuō)明受批號(hào)不同的影響不大；如果兩者相差較大，組間變異比組內(nèi)變異大得多，說(shuō)明批號(hào)不同的影響不容忽視。下面我們根據(jù)表8.1資料來(lái)計(jì)算這三種變異。

（1)總離均差平方和：即12個(gè)觀察值各與總均數(shù)相差的平方之和，公式為

(8.1)

式中SS總即總離均差平方和，Xij表示第i組的第j個(gè)觀察值，X為全部觀察值的平均數(shù)，k是組數(shù)。

本例SS_總=72.5741-28.97²/12=2.6357

（2)組間離均差平方和：即取各組均數(shù)代替該組各觀察值后，它們分別與總均數(shù)相差的平方之和，公式為

(8.2)

（3)組內(nèi)離均差平方和：只要加總各組本身的離均差平方和即得，公式為

(8.3)

由本例計(jì)算結(jié)果可以看出，SS_組間+SS_組內(nèi)=SS_總，如2.3223+0.3134=2.6357。因此，算出SS_總以后再計(jì)算SS_組間、SS_組內(nèi)兩者中之一個(gè)，其余一個(gè)便可通過(guò)減法求得。

將以上求得的幾種變異各除以自由度后得均方。自由度的計(jì)算公式分別為

總變異 N-1 （N為各組例數(shù)之和)（ 8.4)

組間變異　K-1　　　　　　（8.5)

組內(nèi)變異　N-K　　　　　�。�8.6)

組間均方與組內(nèi)均方之比為F值，

F＝組間均方/組內(nèi)均方　　�。�8.7)

本例

將以上數(shù)據(jù)列入下面的方差分析表可使人一目了然。

表8.2　方差分析表

如果求得的F值小于1或略大于1，也即組間變異與組內(nèi)變異差不多，則關(guān)于不同批藥盒所致影響就不值得注意，反之，若各批均數(shù)間差別甚大，組間變異比組內(nèi)變異大得多，說(shuō)明不能只把它看成為誤差的表面，很可能不同批藥盒的測(cè)定值具有差別。現(xiàn)F值遠(yuǎn)大于1，若等于或大于某α水準(zhǔn)下的臨界F值，便將拒絕檢驗(yàn)假設(shè)H₀而接受備擇假設(shè)H₁。

本例定α=0.05,查附表8F值表，F(xiàn)_0.05(2,9)=4.26。括弧內(nèi)2為求F值時(shí)分子（也即較大均方)的自由度，9為分母的自由度，今F=33.368，遠(yuǎn)大于此臨界值4.26,故P<0.05，說(shuō)明不同批藥盒的影響不容忽視，各批藥盒測(cè)定的SIgA值相差顯著。

二、多個(gè)均數(shù)間的兩兩比較

經(jīng)方差分析（即F檢驗(yàn))，若各組均數(shù)之間差別不顯著，則到此為止，不必作進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)學(xué)處理了。當(dāng)F檢驗(yàn)結(jié)果為相差顯著時(shí)，這只是對(duì)各組均數(shù)的整體而言，至于哪些均數(shù)間的差別顯著，哪些不顯著，還要作如下進(jìn)一步分析。

本例檢驗(yàn)結(jié)果為相差顯著，這里我們先用較為簡(jiǎn)單而實(shí)用的最小顯著差數(shù)法來(lái)比較三組中每?jī)山M均數(shù)間的差別是否顯著，然后介紹q值法。

1．最小顯著差數(shù)法

（1)計(jì)算最小顯著性差數(shù)D_α，ν

D_{α，ν＝t， (8.8)}

式中t，由附表3查得，查時(shí)自由度ν用方差分析表中組內(nèi)變異的自由度，本例為9；α即顯著性水準(zhǔn)，常用0.05或0.01，本例查得兩個(gè)臨界t值即t_0.05,9=2.262，t_0.01,9=3.250。標(biāo)準(zhǔn)誤 的計(jì)算公式是

　　　　　(8.9)

S²_組內(nèi)也即表8.2中的組內(nèi)均方（也可叫誤差均方)0.0348。n_A、n_B為所比較的兩組的例數(shù)，本例各組例數(shù)都為4�，F(xiàn)將數(shù)據(jù)代入式（8.9)、（8.8)求得

（2)用上述的最小顯著性差數(shù)與每?jī)山M均數(shù)的相差數(shù)比，若后者大于前者（臨界值)，便相差顯著，若小于前者，為相差不顯著�，F(xiàn)將兩均數(shù)間的比較結(jié)果列于下表。

表8.3　均數(shù)間兩兩比較

注：表中X_A-X_B兩側(cè)的直杠是絕對(duì)值符號(hào)。

3．統(tǒng)計(jì)結(jié)論：各批間均在α=0.05水準(zhǔn)處相差顯著，又第3批與第1、2兩批比，P<0.01，說(shuō)明各批藥盒對(duì)SIgA的檢測(cè)效果不一致，批號(hào)3遠(yuǎn)高于批號(hào)2與1。

上面介紹的多個(gè)均數(shù)間兩兩比較的方法雖較簡(jiǎn)便，精確性有時(shí)不足，尤其當(dāng)比較的均數(shù)不是在三個(gè)而是更多，或各樣本含量不相等時(shí)應(yīng)用也較麻煩。下面介紹查臨界q值而不查t值的另一比較方法。

2．q值法

（1)將表8.1中三個(gè)均數(shù)自大至小排列得：

（2)用組內(nèi)均方與平均每組例數(shù)n₀求出標(biāo)準(zhǔn)誤，然52667788.cn/kuaiji/后與由附表9中查到的臨界q值相乘，即可列出比較表加以比較。下面是求平均例數(shù)的公式。

（i=1,2,…,k)　　(8.10)

此例　

本例各組樣本大小相等，均為4，本無(wú)須用上式計(jì)算，但若各組大小不等時(shí)就得用上式求平均例數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)誤公式為

(8.11)

此例　

表8.4　均數(shù)間兩兩比較

現(xiàn)將上表欄目自左至右一一說(shuō)明如下：

表內(nèi)左側(cè)，均數(shù)大小秩次3與2比，即相鄰兩組相比，故組數(shù)a等于2。同樣，第三行的2與1比，因2與1相鄰，a也是2，3與1比則由3到1組數(shù)有3，a等于3。關(guān)于查附表9中的q值，一方面根據(jù)該表上端橫行a的數(shù)52667788.cn/yaoshi/字，另方面根據(jù)表左側(cè)直行的ν，也即方差分析表中組內(nèi)（或誤差)項(xiàng)的自由度（本例為9)來(lái)查。表內(nèi)q值有上、下兩行數(shù)，若定α為0.05，查上行，α為0.01則查下行。

就本例言，用兩種方法作均數(shù)間兩兩比較，其結(jié)論完全一致。

例8.2　下表為用動(dòng)物研究白血病時(shí)測(cè)得的鼠脾DNA（脫氧核糖核酸)含量，現(xiàn)作方差分析，比較四個(gè)不同病情組的均數(shù)相差是否顯著。

表8.5　鼠脾DNA含量測(cè)定值（mg)

1．作檢驗(yàn)假設(shè)H₀：μ₁=μ₂=μ₃=μ₄，H₁：各總體均數(shù)不都相等。α=0.01。

2．用表8.5下部數(shù)字計(jì)算離均差平方和：簡(jiǎn)法是先求校正數(shù)C=(∑X)²/N=398.1²/32，再求

SS_總：5086.01-(398.1)²/32=133.40

SS_組間：(119.8)²/8+(89.2)²/7+(104.4)²/9+(84.7)²/8-(398.1)²/32=85.85

SS_組內(nèi)：133.40-85.85=47.55

3．列出方差分析表

表8.6　方差分析表

4．查F值表，下結(jié)論。看附表8（3)，根據(jù)求F值時(shí)組間均方較大，于是用其自由度3及組內(nèi)均方的自由度28查得F_0.01(3,28)=4.57，今F=16.84>F_0.01(3,28)=4.57，故在α=0.01水準(zhǔn)處相差顯著，P<0.01。四組鼠脾的DNA含量不等。（注：F小于1時(shí)無(wú)須查表)。

5．為詳細(xì)分析每?jī)山M間的相差情況，作兩兩比較如下。（因各組例數(shù)不等又組數(shù)較多，故用Q值法比較)。

（1)將四組均數(shù)按大小排列：

(2)求平均例數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)誤：由式（8.10)與式（8.11)計(jì)算得

（3)列表比較：

表8.7　均數(shù)間兩兩比較

注：本例組內(nèi)均方的自由度為28但q值表中左側(cè)無(wú)28，故用鄰近的較小自由度20，此外也可用內(nèi)插法求出γ為28的q值。

比較結(jié)果，除患移植性白血病甲、乙組間；甲組與自發(fā)性白血病組間（即按均數(shù)大小秩次3與4、3與2間)相差不顯著外，余均在α=0.01水準(zhǔn)處相差顯著，說(shuō)明正常鼠脾DNA含量最高，患移植白血病乙組的最低。