相關(guān)回歸分析

　　二、回歸分析（regression analysis)

　　醫(yī)學(xué)上，不少孌量間雖存在一定關(guān)系，但這種關(guān)系不象函數(shù)關(guān)系那樣十分確定。例如正常人的血壓隨年齡而增高，但這只是總的趨勢(shì)，有些高齡人的血壓卻不一定偏高；一群正常人按年齡和血壓兩個(gè)變量在坐標(biāo)上的方位點(diǎn)，并非集中在一條上升直線上，而是圍繞著一條有代表性的直線上升。

　　直線回歸分析的任務(wù)在于找出兩個(gè)變量有依存關(guān)系的直線方程，以確定一條最接近于各實(shí)測(cè)點(diǎn)的直線，使各實(shí)測(cè)點(diǎn)與該線的縱向距離的平方和為最小。這個(gè)方程稱(chēng)為直線回歸方程，據(jù)此方程描繪的直線就是回歸直線。

　　（一)直線回歸方程式（linear regression equation)的計(jì)算

　　直線回歸方程的通式為：

　　=a+bX　公式（22.3)

　　式中Y為自由變量X推算因變量Y的估計(jì)值，a為回歸直線在Y軸上的截距，即X=0時(shí)的Y值；b為樣本回歸系數(shù)（regression coefficient)，即回歸直線的斜率（slope或稱(chēng)坡度)，表示當(dāng)X變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，Y平均變動(dòng)b個(gè)單位。如果已知a與b，用以代入公式（22.3)，即可求得直線回歸方程。求a和b的公式分別為：

　　公式（22.4)

　　公式（22.5)

　　對(duì)樣本中兩個(gè)變量分析，不但可作相關(guān)分析，還可進(jìn)一步作直線回歸分析。仍以表22-1為示范，該例經(jīng)過(guò)直線相關(guān)分析，r=0.6097，兩變量間有直線關(guān)系，從相關(guān)系數(shù)計(jì)算時(shí)，已求得：

　　Σ（X-x)（Y-Y)=41.2000

　　Σ（X-x)²=677.4194

　　而 Y=ΣY/n=99.2/31=3.2000

　　x=ΣY/n=534/31=17.2258

　　代入公式（22.4)

　　b=41.2000/677.4194=0.0608

　　代入公式（22.5)

　　a=3.2000-0.0608×17.2258=2.1527

　　代入公式（22.3)

　　=2.1527+0.0608X

　�。ǘ�)樣本回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

　　樣本回歸系數(shù)也有抽樣誤差問(wèn)題，故需對(duì)b作假設(shè)檢驗(yàn)，以評(píng)估b是否可能從回歸系數(shù)為零（即β=0)的總體中隨機(jī)抽得的。

　　檢驗(yàn)步驟：

　　H₀：β=0 即b是由β=0的總體中隨機(jī)抽樣的樣本回歸系數(shù)。

　　H₁：β≠0

　　α=0.05

　　t檢驗(yàn)：檢驗(yàn)公式為

　　　t_b=｜b｜/s_b 公式（22.6)

　　式中s_b是回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，計(jì)算公式為

　　公式（22.7)

　　式中s_y.x為各觀察值Y距回歸直線（Y)的標(biāo)準(zhǔn)差，是當(dāng)X的影響被扣除后Y方面的變異指標(biāo)。可用以下公式計(jì)算：

　　　公式（22.8)

　　　公式（22.9)

　　本例上述已算得

　　　Σ（X-x)²=677.4194

　　　Σ（Y-Y)²=6.7400

　　　Σ（X-x)(Y-Y)=41.2000

　　分別代入公式（22.9),(22.8),(22.7)和(22.6)得

　　Σ(Y-Y)^２＝6.7400-41.2000²/677.4194=4.2343

　　t_b=0.0608/0.01468=4.1417

　　分析評(píng)價(jià) 本例自由度v=31-2=29，查t值表，t_0.01（29)=2.756,P＜0.01,按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)，拒絕無(wú)效假設(shè)，可以認(rèn)為待產(chǎn)婦24小時(shí)尿中雌三醇含量與初生兒體重之間存在直線回歸關(guān)系。醫(yī)學(xué)全在線www.med126.com

　　（三)描繪回歸直線

　　根據(jù)以上求得回歸方程Y=2.1527+0.0608x，可以在自變量X的實(shí)測(cè)范圍內(nèi)（本例為7～27)任取X₁和X₂兩值代入上式求得在圖22-2中的P₁（X₁，Y₁)和P₂（X₂，Y₂)兩坐標(biāo)點(diǎn)，將兩點(diǎn)連結(jié)為一直線，就屬該方程的回歸直線。作圖要注意的是P₁、P₂兩點(diǎn)最好距離遠(yuǎn)些，繪出的直線在坐標(biāo)上誤差就小些。

　　三、應(yīng)用直線相關(guān)與回歸分析時(shí)的注意事項(xiàng)

　　1．作相關(guān)與回歸分析要有實(shí)際意義，不要把毫無(wú)關(guān)聯(lián)的兩個(gè)事物或兩種現(xiàn)象作相關(guān)、回歸分析。

　　2．兩事物或現(xiàn)象間有相關(guān)，不一定有回果關(guān)系，也可能僅是伴隨關(guān)系。但是，如果兩事物或現(xiàn)象間存在因果關(guān)系，則兩者必然是相關(guān)的。

　　3．相關(guān)與回歸分析所說(shuō)明的問(wèn)題是不同的，但又是有聯(lián)系的。相關(guān)表示相互關(guān)系，回歸表示從屬關(guān)系�？梢宰C明，同一批資料所算得的r與b的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（tr,tb)是相同的，如本章的案例前后算得的tr=tb=4.14。由于相關(guān)系數(shù)的計(jì)算及假設(shè)檢驗(yàn)比較方便，故可用相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)取代回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。事實(shí)上在作回歸分析之前，一般先作相關(guān)分析，而只有在確定了兩變量間有直線關(guān)系的前提下，求回歸方程及回歸線才有意義。

　　4．相關(guān)與回歸的應(yīng)用，僅限于原實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的范圍內(nèi)，而不能隨意外推。因?yàn)椴恢�道在此范圍之外，兩變量間是否仍存在同樣的直線關(guān)系。如果確有進(jìn)行外推的充分根據(jù)和需要，亦應(yīng)十分慎重。

　　5．在X與Y均呈正態(tài)變量時(shí)的加歸分析中，由X 推算Y與由Y推算X的回歸系數(shù)及回歸方程是不同的，切勿混淆。

附表22-1 相關(guān)系數(shù)顯著性界值表

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